Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

Наконец, корень в девятом приближении p 9 = -0.24 , а частное от деления p 3 +6.8p 2 +5.21p+2.46=0. По двум последним членам этого уравнения снова определяем корни в первом приближении 5.21p+2.46=0 p 1 = -0.472. После деления уравнения на p+0.472 остаток 2.223p+2.46 и корень во втором приближении равен p 2 = -1.1066. Корень в третьем приближении p 3 =+2.256. Процесс расходится.

Корень не может быть положителен в устойчивой САУ. Тогда по трем (а не по двум) последним членам этого уравнения определяем сразу два комплексных корня характеристического уравнения. Остаток в первом приближении 6.033p 2 +4.848p+8.46. Остаток во втором приближении 5.996p 2 +4.802p+2.46. Остаток в третьем приближении 6.00p 2 +4.80p+3.46, который незначительно отличается от остатка во втором приближении и по нему определяем значение комплексных корней. p 2,3 = -0.4 ± j0.5. Частное от деления на остаток в третьем приближении 0.210p+2.46=0, тогда p 4 = -6.0. Примечание. Корни кубического уравнения p 3 +6.8p 2 +5.21p+2.46 можно определить методом Карно. Для этого представим его в виде p 3 +ap 2 +bp+c=0 и путем подстановки p= приводим к ² неполному ² виду. y 3 +n*y+m=0, где n= m= Корни y 1 ,y 2 ,y 3 ² неполного ² кубического уравнения равны: y 1 =A+B y 2,3 = A= B= Q= Определим численные значения корней ² неполного ² кубического уравнения. Q= A= B= y 1 =A+B=-1.579+(-2.155)=-3.734 =1.867 ± j0.49968. Определяем корни данного характеристического уравнения третьего порядка. p 1 =y 1 - -3.734- -6.0 p 3,4 =1.867 ± j0.4996- -0.4 ± j0.5. Результаты вычисления корней уравнения третьей степени методом приближения и методом Карно - совпали.

Проведем проверку правильности определения корней уравнения по теореме Виета. -b= -6.8=p 1 +p 2 +p 3 = -6.0-0.4+j0.5-0.4-j0.5= -6.8 -c= -2.46= -6.0*(0.4 2 +0.5 2 )= -2.46 РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ РЕГУЛИРУЕМОГО ПАРАМЕТРАНА СУММУ ПРОСТЫХ ДРОБЕЙ. Определение уравнения переходного процесса x(t) по изображению регулируемого параметра в случае, когда знаменатель имеет ² n ² корней можно выполнить путем разложения изображения на простые дроби, по которым затем получить прямое преобразование Лапласа, согласно табл.1 задания 4. x(p)= где c i - коэффициент разложения; p i - корень уравнения.

Коэффициент разложения c i в зависимости от вида корней уравнения определяется следующим образом. 1 СЛУЧАЙ. Все корни действительные и разные. c i = где A (p)= p=p i . Тогда уравнение переходного процесса x(t)= 2 СЛУЧАЙ. Среди ² n ² действительных корней есть корень p=0. c i = Тогда уравнение переходного процесса x(t)= 3 СЛУЧАЙ. Среди ² n ² действительных корней есть ² m ² пар комплексно-сопряженных. Для каждой пары комплексно-сопряженных корней p 1,2 = - a ± j b определяется два значения коэффициентов c : с 1 = с 2 = , которые являются тоже комплексно-сопряженными выражениями c 1,2 = a ± j b . В этом случае определяется модуль |c| и угол j . |c|= j =arctg По табл.1 (задание 4) каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует переходный процесс x(p)=2*|c|*e - a t *cos( b t+ j ). В общем случае при наличии в характеристическом уравнении одного нулевого корня, ² k ² - действительных корней и ² m ² - комплексно-сопряженных переходный процесс описывается уравнением: x(t)= Примечание. 4-й случай, когда в уравнении есть кратные вещественные корни в данном задании не рассматриваются.

Рассмотрим несколько примеров такого способа получения уравнений переходного процесса. ПРИМЕР 5. Единичный импульс подан на систему с передаточной функцией W(p)= Определить уравнение весовой функции. РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(t)=1’(t) , тогда U(p)=1. x(p)= 2. Определяем корни характеристического уравнения. p 1 = -1 p 2 = -2 p 3 = -4. 3. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби. x(p)= 4. Коэффициенты заложения c i будем определять согласно 1-му случаю (все корни вещественные и разные). c 1 (-1)= c 2 (-2)= c 3 (-4)= Примечание. При нулевых начальных условиях алгебраическая сумма полученных коэффициентов разложения должна быть равна нулю. c 1 +c 2 +c 3 = -0.1666 + 1- 0.8334=0 5. Изображение регулируемого параметра. x(p)= 6. Уравнение весовой функции согласно формуле 5 табл.1 (задание 4). x(t)= -0.1666*e -t +1*e -2t -0.8334*e -4t . ПРИМЕР 6. На систему с передаточной функцией примера 5 подано единичное ступенчатое воздействие.