Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Скачать работу - Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде: (1) Простевшие примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесчисленное множество решений. Мы наблюдали это уже на примере уравнения (*). Простой проверкой легко убедиться также, что уравнение имеет решениями функции - функции - любое число. Как мы видим, в решения приведенных дифференциальных уравнений входит произвольная постоянная Придавая произвольной постоянной определенные числовые значения, мы будем получать частные решения. Выше мы видели, что уравнение имеет обще решение и удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальному условию.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует, а также что оно будет единственным, выясняется теоремой.

Теорема существования и единственности решения. Если функция непрерывна в области, содержащей точку имеет решение такое, что Если, кроме того, непрерывна и частная производная Интересно отметить, что в условии теоремы не требуется существования производной Теорема эта впервые была сформировано и доказана Коши.

Поэтому часто задачу отыскания частного решения по начальным условиям называют задачей Коши.

Графическое представление теорема существования и единственности решения. SHAPE * MERGEFORMAT

0

у

х

(рис. 1) (рис. 2) График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению соответствует семейство интегральных кривых. Так как мы уже проверили, что уравнение имеет общее решение имеет общее решение Задание начального условия геометрически означает, что из семейства интегральных кривых мы выбираем ту, которая проходит через точку и непрерывны, проходит одна единственная интегральная кривая. Если в данной точке эти условия нарушены, то это означает, что через эту точу либо вообще не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит несколько.

Возьмем, например, уравнение видно, что через начало координат проходит бесчисленное множество его интегральных кривых. Это противоречит теореме, так как в точке (0,0) условия теоремы существования нарушены: правая часть уравнения становится неопределенной. Точки, в которых условия теоремы существования и единственности решения нарушаются, называются особыми точками.

Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка.

Прежде всего условимся переменные и считать разнонаправленными; это значит, что с равным основанием можно рассматривать как функцию от или часть разрывна при функцией, а - независимой переменной и переписывать уравнение в виде Интегральной кривой является парабола, касающаяся оси ординат в начале координат. Таким образом, через точку (0,0) проходит одна интегральная кривая, и нам нет смысла считать эту точку особой. То же самое можно сказать. То же самое можно сказать и о любой другой точке оси абсцисс.

Поэтому в дальнейшем будем считать особой только такую точку , в которой разрывные правые части обоих уравнений и Именно такой случай имеет место для уравнений и (2) в начале координат.

Функции в правых частях не имеют предела x и y к нулю.

Приведем несколько примеров использования уравнений типа (2). Примеры. 1) и (рис. 2) такая особая точка называется узлом. 2) y =0 и x =0 (рис. 3) такая особая точка называется седлом.

Аналогичная картина будет для решений и при 3) интегральные кривые – окружности с центром в начале координат (рис. 4). В этом случае особая точка называется центром; через нее не проходит ни одна интегральная кривая. 4) Замена приводит после с разделенными переменными или В системе полярных координат уравнение имеет гораздо простой вид Это семейство логарифмических спиралей (рис. 5). Особая точка такого типа называется фокусом. Можно доказать, на чем мы не останавливаемся, что для уравнения (*) начало координат при любых значениях коэффициентов(если только (рис. 5) Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка Задача Коши для уравнения (*) ставится следующим образом: задана точка начальным условиям Достаточные условия существования и единственности задачи Коши дает Теорема существования и единственности решения Особым решением уравнения (*) на множестве I называется его решение через точку его графика Для существования особого решения необходимо, чтобы в области G нарушались условия теоремы существования и единственности задачи Коши, т.е. для непрерывно дифференцируемой функции необходимо (3) Множество точек называется p -дискриминантным множеством уравнения (*). График особого решения уравнения (1) лежит в p -дискриминантном множестве.

Однако p -дискриминантное множество не всегда задает особое решение: а) p -дискриминантное множество не обязано быть гладкой кривой, б) p -дискриминантное множество не обязано определять решение уравнения (*). Для нахождения особых решений требуется: 1. найти решение (*); 2. найти p -дискриминантное множество, исключив параметр p из системы 3. отобрать те из решений уравнения (1), которые лежат в p -дискриминантном множестве; 4. для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения, т.е. проверить выполнение при условий касания - семейство решений (*), не совпадающих с Примеры решения задач.

Пример 1. Решить уравнение, найти особые решения, начертить интегральные кривые 1. Вводим параметр (4) Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив через Возможны два случая: 1) 2) в (4), определяем y : 2. Найдем p -дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений и Из второго уравнения системы следует, что Так как - решение, то это кандидат в особые решения. Рис. 6 3. Докажем, что это решение особое (проверяем касание): следовательно, при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение: Через точку проходит решение при в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при Интегральные кривые представлены на рис. 6, где особое решение отмечено жирной линией.